アマチュア無線や電子工作,バイクの話などを徒然なるままに書き散らすメモ程度のblogです.


by jq1ocr

算数の問題

A1C の blog list のページを見ると更新されているかどうかがすぐ分かるようになっています.結構便利だなぁと思って,最近よく見ているのですが,そこで「難問?」の文字が目に付きました.やっぱり表題は大事だなぁ.笑 みると JH2CMH さんのページで,算数の問題が載ってました.学生時代に中学生相手の塾講師はやってましたが,小学生相手となると使う知識に制限があって,教えるのもなかなか難しいものです.この問題も三平方の定理は使用禁止です.抜粋しますとこのようになっています.
JH2CMHさんのページより抜粋
(2)1辺が9cmの正方形ABCDがある。辺CDの中点をM、辺AB上に∠AME=45°となる点Eをとり、点Eから辺AMに垂線EHをひいた。このとき、三角形EMHの面積を求めよ。
d0106518_23295650.jpg
勿論、三平方の定理で辺の長さを求めれば容易に解けますが、小学6年生が取り組む問題なので、三平方も平方根も使いません。(三角形の相似は使います)

そうですね〜,三平方を使えば瞬殺ですが,それは使用禁止となると相似比を使いますか.では解いてみましょう.あ,みなさんはご自分で解いてから下を見てくださいね.笑 下の解法以外で解いた方は,是非お知らせください.もちろん,CMHさんのページにもコメントしてくださいね.



↓(自分で解くまで見ちゃダメですよ)


















まず題意の数字を書き加えると以下のようになります.
d0106518_2332525.jpg
この図を見て分かるのは,まず∠AEH=∠MAD, ∠HAE=∠DMA はいいですね.要するに △AMD と △EAH は相似です.またそれ故,AH : HE = 1 : 2 です.書き込むとこんな感じ.
d0106518_23381066.jpg
ついで∠HMEが45°ということは,三角形の内角の和は180°ですから,∠MEH も 45° になります.なので,△HEM は直角二等辺三角形ですから,HM = EH となります.書き入れると以下のようになります.
d0106518_23402384.jpg
ここで△AEH の面積が分かれば終了〜となるわけですが,三平方の定理を使えないので,AM:AEを出すことが出来ません.そこで長さが既知の辺との比をとるために,Hから辺AEに垂線HJをおろします.
(蛇足:もし三平方の定理と二乗根を使って良いなら AM2=AD2+DM2 より AM = √(101.25)[cm].HMはその 2/3 であるから,面積は (2√(101.25)/3)2/2 = (4/9)×101.25 / 2 = 22.5[cm2] で終了)

d0106518_2342597.jpg
すると,この図を見ても分かるように,∠AHJ = ∠ MAD ですので,△AJH と △MDA は相似で,なおかつ長斜辺の長さの比が 1:3 になるので,面積比は 1:9 となります.また,△HJE も相似ですが,長斜辺の長さの比が△AJH と比べて,1 : 2 なので,面積比は 1 : 4 となります.合わせると △AEH : △MAD = 5 : 9 となります.
d0106518_23475598.jpg
△HEM は△AEHと高さが共通で底辺の長さの比は 1:2 になっていますから,△AEH の面積を 5 とすれば,△HEM は 10 になります.すなわち △MAD : △HEM = 9 : 10 ですから,△HEM の面積は 9×4.5×(1/2)×(10/9) = 22.5 cm2となります.以上

図形の問題って思いつくかどうかがすべてなんですよね.この問題で言えば,上の解き方をするなら HJ が引けるかどうかだけがポイントでしょう.三平方の定理が使えれば,AM が出せるので簡単ですが,それを使わないなら,私は補助線を使う方法しか思い浮かびませんでした.小学生レベルが使える道具に制限した他の解法で解いたという方がいらっしゃいましたら,是非教えてください.解き方は一つとは限らないと思うので,小学生に戻らなくとも,いろんな発想を持っておくと,いろいろなシーンで役に立ちますよね.きっと.笑
【追記】この解き方でも進みすぎとのことで,こちらに別の解き方を考えてみたのを示しています.
[PR]
Commented by JH2CMH at 2009-12-13 11:38 x
解説ありがとうございます。
三角形の相似と△EMHが直角二等辺三角形であることから、
AH:HE=AH:HM=1:2なので、
△AHEと△EMHの面積比が1:2
までは本筋と思って考えていました。

仰るように垂線HJを引いて、
更に相似な三角形△AHJと△HEJを利用するのも
模範解答として使えそうです。

5分ほど悩んだ後気づいた
(1)の考え方を利用する解法は、
明日私のBlogに掲載します。

ちなみに現行のカリキュラムでは、
三角形の相似と対応する線分の比は中3、
相似比と面積比の関係は高1で学習することになっています。

相似比と面積比の関係を知らないと、
地図も正しく読めないと思うのですが・・・
Commented by jq1ocr at 2009-12-13 11:42
あ,だめなんですね.(1)はやってなかったので,その結果を使う方法というのは考えませんでした.ちなみに,高1じゃ,三平方どころじゃないですね.苦笑
Commented by JH2CMH at 2009-12-13 22:33 x
いや、模範解答として使えそうと書かせていただいたように
相似な図形の面積比=相似比×相似比
(2乗といわないのが小学生用)
は使用OKなんです。

少々複雑な話になりますが、
文科省が中学・高校へ先送りした事項でも、
(元々小学生に教えていた内容ですから)
中学入試では変わらず出題されています。

私は、低位平準化しないのが正しいと思っています。Hi
Commented by jq1ocr at 2009-12-13 22:39
なるほど.後で書いた
http://jq1ocr.exblog.jp/10554111/
の方が,更に簡単になっているはずですが,これはどうでしょう?
by jq1ocr | 2009-12-13 00:11 | 徒然話 | Comments(4)